BLOQUE 4 UTLIZAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS TRES Y CUATRO

BLOQUE 4

UTLIZAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS TRES Y CUATRO

Modelo matemático de las funciones polinomiales de grados: tres y cuatro.

Ejemplos [editar]Las funciones polinómicas de una variable (x), se corresponden con diversas curvas planas, que se pueden representar en un sistema de coordenadas cartesianas XY.

Polinomio de grado 2:

f(x) = x2 - x - 2 = (x+1)(x-2)

Polinomio de grado 3:

f(x) = x3/5 + 4×2/5 - 7x/5 - 2 = 1/5 (x+5)(x+1)(x-2)

Polinomio de grado 4:

f(x) = 1/14 (x+4)(x+1)(x-1)(x-3) + 0.5

Polinomio de grado 5:

f(x) = 1/20 (x+4)(x+2)(x+1)(x-1)(x-3) + 2

Función polinómica de grado 4

Debido a su estructura simple, los polinomios son muy sencillos de evaluar, y se usan ampliamente en análisis numérico para interpolación polinómica o para integrar numéricamente funciones más complejas. Una manera muy eficiente para evaluar polinomios es la utilización de la regla de Horner.

En álgebra lineal el polinomio característico de una matriz cuadrada codifica muchas propiedades importantes de la matriz. En teoría de los grafos el polinomio cromático de un grafo codifica las distintas maneras de colorear los vértices del grafo usando x colores.

Con el desarrollo de la computadora, los polinomios han sido remplazados por funciones spline en muchas áreas del análisis numérico. Las splines se definen a partir de polinomios y tienen mayor flexibilidad que los polinomios ordinarios cuando definen funciones simples y suaves. Éstas son usadas en interpolación spline y gráficos por ordenador.

Definición algebraica [editar]Para a0, …, an constantes en algún anillo (en particular podemos tomar un cuerpo, como o , en cuyo caso los coeficientes del polinomio serán números) con an distinto de cero, para n > 0, entonces un polinomio, P, de grado n en la variable x es un objeto de la forma

El polinomio se puede escribir más concisamente usando sumatorios como

Las constantes a0, …, an se llaman los coeficientes del polinomio. A a0 se le llama el coeficiente constante y a an, el coeficiente principal. Cuando el coeficiente principal es 1, al polinomio se le llama mónico o normado. Siendo x un símbolo llamado indeterminada.

Operaciones con polinomios [editar]Artículo principal: Operaciones con polinomios

Los polinomios se pueden sumar y restar agrupando los términos y simplificando los monomios semejantes. Para multiplicar polinomios se multiplica cada término de un monomio por el término del otro monomio y se simplifican los monomios semejantes, posteriormente.

Propiedades geométricas de las funciones polinomiales de grado tres y cuatro.

 La función cúbica:

FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO 3

Se denomina función cúbica a toda función de la forma:

y= ax³ + bx² + cx+ d; donde a (distinto de 0), b, c y d son números reales.

FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO 4

Es la función de fórmula: y = ax⁴+ bx³+ cx²+ dx+ e; donde a (distinto de 0), b, c, d y e son números reales.

Métodos de solución de las ecuaciones factorizables asociadas a una función polinomial  de grados: tres y cuatro

Representación grafica de funciones polinomiales de grados: tres y cuatro.

Función polinómica de grado 3

Se denomina función cúbica a toda función de la forma:

y=a*x³+b*x²+c*x+d

donde a (distinto de 0), b, c y d son números reales.

Función polinómica de grado 4

Es la función de fórmula:

 y=a*x⁴+b*x³+c*x²+dx+e

donde a (distinto de 0), b, c, d y e son números reales.

Propiedades geométricas de funciones polinomiales 

Ejercicio 1 :

Analizar y representar la función f(x)=0.25x⁴-2x²+3
a) Dominio: R
b) Simetría: Por ser función par, es simétrica respecto del eje OX.
c) Corte con los ejes:

·                     Cortes con OX: 0.25x⁴-2x²+3=0 ®  x=±Ö6, ±Ö2

·                     Corte con OY: f(0)=3

d) Regiones: El signo en cada intervalo se obtiene fácilmente pues basta calcularlo en uno cualquiera de ellos y se va alternando.

x	(-¥,-Ö6)	(-Ö6,-Ö2)	(-Ö2,Ö2)	(Ö2,Ö6)	(Ö6,+¥)
y	+	-	+	-	+

 e) Ramas parabólicas:

·                     Para x ® ±¥, f(x) ® +¥

f) Puntos singulares:

·                     f'(x)=x³-4x

·                     f'(x)=0 « x(x²-4)=0 ® x=0, x=2, x=-2

·                     f(0)=3, f(2)=-1, f(-2)=-1

·                     f''(x)=3x²-4

·                     f''(0)=-4 <0 ® Máximo (0,3)

·                     f''(-2)=8 >0 ® Mínimo (-2,-1)

·                     f''(2)=8 >0 ® Mínimo (2,-1)

g) Puntos de inflexión:

·                     f''(x)=0 «  3x²-4=0 ® x=±Ö4/3

·                     f(Ö4/3)=7/9; f(-Ö4/3)=7/9

·                     f'''(x)=6x

·                     f'''(Ö4/3) >0 ® Inflexión: (Ö4/3,7/9)

·                     f'''(-Ö4/3)<0 ®Inflexión: (-Ö4/3,7/9)

Ejercicio 2:

Analizar y representar la función f(x)=x⁴+1
a) Dominio: R
b) Simetría: Como no es ni par ni impar no hay simetría ni respecto del eje OX ni respecto del origen.
c) Cortes con los ejes:

·                     Eje OX: f(x)=0 « x⁴+1=0 ®  x⁴=-1 No tiene

·                     Eje OY: f(0)=1

d) Regiones:
Al no tener corte con el eje OX, la función tiene el mismo signo en todo R: x⁴+1 > 0
e) Ramas parabólicas:

·                     Para x ® ±¥, f(x) ® +¥

f) Puntos singulares:

·                     f'(x)=4x³

·                     f'(x)=0 «  4x³=0 -> x=0

·                     f(0)=1

·                     f''(x)=12x²

·                     f''(0)=0

·                     f'''(x)=24x

·                     f'''(0)=0

·                     f^iv(x)=24

·                     f^iv(0)=24¹0

Como el orden de derivación para el que la derivada es distinta de cero es n=4, par y f^iv(0)>0 se trata de un Mínimo (0,1).
Al no tener punto de inflexión la curvatura no cambia en todo R: Es una función convexa.

Métodos de solución de ecuaciones factorizables a una función polinomial 

Para identificar las aplicaciones una función polinomial de grado tres, presentamos una situación común de construcción.

Se tiene una hoja cuadrada de cartón de72 cm de lado y quieres construir una caja para sus cosas recortando un cuadrado de cada esquina. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del cuadrado recortado para que el volumen de la caja sea el máximo?

En esta situación se dispone de la lámina completa en la que se puede recortar un cuadrado de lado “x”. al cortar cada esquina y doblar las partes restantes para obtener la caja de base cuadrada cuyas dimensiones son, en la base, 72 – 2x centímetros de lado y una altura de x centímetros.

El volumen de cualquier caja se obtiene como el producto de cada una de sus aristas, para este caso:

V= (72-2x)² x y desarrollando y simplificando se obtiene:

V = 4x³ – 288x² + 5 184x

Esta expresión algebraica determina el volumen máximo, pero necesitamos saber cuánto hay que recortar para que así sea. Pero si encontramos las raíces de esta función obtenernos el valor para que sea cero la función y no el valor de x para un mayor volumen. Al realizar un tabla de valores para x y y, encontraremos que hay un máximo volumen en 12 centímetros.

Representación grafica de una funciones polinomiales grado tres y cuatro