BLOQUE 5 División sintética

DIVISIÓN SINTETICA

La división sintética se realiza para simplificar la división de un polinomio entre otro polinomio de la forma x – c, logrando una manera mas compacta y sencilla de realizar la división.

Ilustraremos como el proceso de creación de la división sintética con un ejemplo:

Comenzamos dividiéndolo normalmente

Teorema fundamental del algebra

El teorema fundamental del álgebra establece que todo polinomio de una variable no constante con coeficientes complejos tiene un raíz compleja, es decir, existe un número complejo que evaluado en el polinomio da cero. Este incluye polinomios con coeficiente reales, ya que cualquier número real es un número complejo con parte imaginaria igual a cero.

Aunque ésta en principio parece ser una declaración débil, implica todo polinomio de grado n de una variable no constante con coeficientes complejos n tiene, contando con lasmultiplicidades, exactamente n raíces. La equivalencia de estos dos enunciados se realiza mediante la división polinómica sucesiva por factores lineales.

Hay muchas demostraciones de este importante resultado, que requieren bastantes conocimientos matemáticos para formalizarlas. El nombre del teorema es considerado ahora un error por muchos matemáticos, puesto que es más un teorema del análisis matemático que del álgebra.

Teorema de factorización lineal

El teorema fundamental del ·lgebra (TFA) dice que "toda ecuaciÛn polinÛmica

de grado n con coeÖcientes complejos tiene n raÌces complejas".

De hecho existen m˙ltiples formulaciones equivalentes; por ejemplo que todo

polinomio real puede expresarse como producto de factores reales lineales y

cuadr·ticos. 1

Los primeros estudios de las ecuaciones de Al-Khwarizmi (c 800) sÛlo permitÌan las raÌces reales positivas y, por tanto, el TFA no tenÌa relevancia alguna.

Fue Cardano el primero en darse cuenta de que se podÌa trabajar con cantidades

m·s generales que los n˙meros reales. Este descubrimiento lo hizo estudiando

la ecuaciÛn c˙bica con el Ön de encontrar una fÛrmula para encontrar sus raÌces.

Cuando aplicÛ su fÛrmula a la ecuaciÛn x

3 = 15x + 4 obtuvo una soluciÛn que

incluÌa p

121, cuando Cardano sabÌa que la soluciÛn debÌa ser x = 4. A pesar

de que Cardano fue capaz de manipular estos ín˙meros complejosí, la realidad

es que Èl mismo no los entendiÛ en profundidad