BLOQUE 6 Función racional

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Función racional

En matemáticas, una función racional es una función que puede ser expresada de la forma:

donde P y Q son polinomios y x una variable, siendo Q distinto del polinomio nulo. Las funciones racionales están definidas o tienen sudominio de definición en todos los valores de x que no anulen el denominador.¹

La palabra "racional" hace referencia a que la función racional es una razón o cociente (de dos polinomios); los coeficientes de los polinomios pueden ser números racionales o no.

Las funciones racionales tienen diversas aplicaciones en el campo del análisis numérico para interpolar o aproximar los resultados de otras funciones más complejas, ya que son computacionalmente simples de calcular como los polinomios, pero permiten expresar una mayor variedad de comportamientos.

Ejemplos

Función homográfica:

si el denominador es distinto de cero, y si ad ≠ bc, la curva correspondiente es una hipérbola equilátera.²

[editar]Propiedades

·        Toda función racional es de clase   en un dominio que no incluya las raíces del polinomio Q(x).

·        Todas las funciones racionales en las que el grado de Q sea mayor o igual que el grado de P tienen asíntotas (verticales, horizontales u oblicuas).

[editar]Integración de funciones racionales

Dada una función racional:

Ejemplos

Asíntotas horizontales

Las asíntotas horizontales se refieren a la tendencia de una función. Las tendencias se descubren calculando los límites de la función para valores muy grandes (infinitos) o para valores muy negativos (menos infinito).
Las asíntotas horizontales pueden ser bilaterales en un mismo valor, bilaterales con diferente valor, o unilaterales.
Hay funciones en las cuales las asíntotas horizontales no se tocan ni cruzan, hay otras en las cuales sí se puede cruzar la asíntota horizontal. En este espacio, veremos los dos casos. No hay que confundir, que las asíntotas verticales no se pueden tocar ni cruzar, ya que ellas dependen de las no definiciones de la función, y si la función no está definida en una asíntota vertical, no puede adoptar el valor de x de la asíntota vertical.
La forma de cálculo de las asíntotas horizontales ya se estudió en el capítulo de límites, en los límites hacia infinito.
Aquí se van a analizar funciones que presentan asíntotas horizontales:
1.- Desde el punto de vista funciones racionales sólo hay dos tipos que presentan asíntotas horizontales; las que tienen el grado del numerador igual o menor que el grado del denominador.
2.- También presentan asíntotas horizontales algunas funciones exponenciales así como algunas logarítmicas.

Asíntotas verticales

Una asíntota vertical es una recta vertical, a la cual se acerca la función sin tocarla nunca.

OJO: No debe confundirse la condición de que una asíntota vertical no se toca o cruza, con el hecho, de que las funciones sí pueden cruzar o tocar una asíntota horizontal.

Para que una función tenga una o varias asíntotas verticales, se tienen que cumplir las siguientes condiciones:

1.- En x = a, la función no está definida, o sea, x = a no es parte del dominio de la función. Por esto no la puede tocar.

2.- El límite cuando x tiende a "a" de la función no existe, pero tiene que haber una tendencia de la función hacia valores extremadamente grandes (infinito) ó extremadamente negativos (menos infinito). Puede darse el caso, de que acercándose por ambos lados al valor de x = a, la tendencia del valor de la función sean ambos infinitos ó ambos menos infinito.

NOTA: Una asíntota vertical puede provocar en la función un cambio de concavidad en la función de antes de la asíntota a después de la asíntota. Analícense algunas de las gráficas de las funciones a continuación. En las primeras dos gráficas hay un cambio de concavidad antes y después de la asíntota vertical.

BLOQUE 5 División sintética

DIVISIÓN SINTETICA

La división sintética se realiza para simplificar la división de un polinomio entre otro polinomio de la forma x – c, logrando una manera mas compacta y sencilla de realizar la división.

Ilustraremos como el proceso de creación de la división sintética con un ejemplo:

Comenzamos dividiéndolo normalmente

Teorema fundamental del algebra

El teorema fundamental del álgebra establece que todo polinomio de una variable no constante con coeficientes complejos tiene un raíz compleja, es decir, existe un número complejo que evaluado en el polinomio da cero. Este incluye polinomios con coeficiente reales, ya que cualquier número real es un número complejo con parte imaginaria igual a cero.

Aunque ésta en principio parece ser una declaración débil, implica todo polinomio de grado n de una variable no constante con coeficientes complejos n tiene, contando con lasmultiplicidades, exactamente n raíces. La equivalencia de estos dos enunciados se realiza mediante la división polinómica sucesiva por factores lineales.

Hay muchas demostraciones de este importante resultado, que requieren bastantes conocimientos matemáticos para formalizarlas. El nombre del teorema es considerado ahora un error por muchos matemáticos, puesto que es más un teorema del análisis matemático que del álgebra.

Teorema de factorización lineal

El teorema fundamental del ·lgebra (TFA) dice que "toda ecuaciÛn polinÛmica

de grado n con coeÖcientes complejos tiene n raÌces complejas".

De hecho existen m˙ltiples formulaciones equivalentes; por ejemplo que todo

polinomio real puede expresarse como producto de factores reales lineales y

cuadr·ticos. 1

Los primeros estudios de las ecuaciones de Al-Khwarizmi (c 800) sÛlo permitÌan las raÌces reales positivas y, por tanto, el TFA no tenÌa relevancia alguna.

Fue Cardano el primero en darse cuenta de que se podÌa trabajar con cantidades

m·s generales que los n˙meros reales. Este descubrimiento lo hizo estudiando

la ecuaciÛn c˙bica con el Ön de encontrar una fÛrmula para encontrar sus raÌces.

Cuando aplicÛ su fÛrmula a la ecuaciÛn x

3 = 15x + 4 obtuvo una soluciÛn que

incluÌa p

121, cuando Cardano sabÌa que la soluciÛn debÌa ser x = 4. A pesar

de que Cardano fue capaz de manipular estos ín˙meros complejosí, la realidad

es que Èl mismo no los entendiÛ en profundidad

BLOQUE 5 UTILIZAS FUNCIONES FACTORIZABLES EN LA RESOLUCION DE PROBLEMAS

BLOQUE   5

UTILIZAS FUNCIONES FACTORIZABLES EN LA RESOLUCION DE  PROBLEMAS

 Llamamos ceros o raíces de una función f a los valores de x para los cuales se cumple que f(x)=0. Los ceros de una función son las abscisas de los puntos en los cuales su gráfica tiene contacto con el eje de las x.

ACTIVIDAD 6:

Indicá los ceros de cada una de las funciones de la Actividad 5.

Recordá: Para hallar los ceros de una función de manera analítica, basta con igualar la ecuación a cero.

Ejemplo:

f(x)=x-2                  Cero de f: x=2

 x-2=0                                             

     x=0+2

     x=2

Ejercicio 1:

función polinómica:

f(x) = 2x³ + 7x² - 7x - 12

Y nos piden hallar los ceros. Los ceros o raíces de una función son las "x" para las cuales la "y" (ó f(x)) vale cero. Es decir: son los números a los cuales, si le aplicas la función, el resultado dá cero. Se pueden hallar "igualando a cero" la fórmula de la función, que es lo mismo que "reemplazar por cero" a la "y" o a f(x) de la fórmula:

2x³ + 7x² - 7x - 12 = 0

Ejercicio 2:

f(x) = x2 + x - 12

Cuando lo igualamos a cero y lo resolvemos tenemos:

x2 + x - 12 = 0	Igualando a cero.
(x + 4)(x - 3) = 0	Factorizando.
x = - 4	Solución 1
x = 3	Solución 2

Puesto que x₁ = - 4 y x₂ = 3 son soluciones de f(x) entonces f( -4 )= 0 y f( 3 )= 0. Decimos entonces que x = - 4 y x = 3 son raíces del polinomio f(x)= x² + x - 12

Las raíces de f(x) = x³ - 4 x² + x + 6 son x = - 1, x = 2 y x = 3

Teoremas del factor y del residuo 

·                      

Algoritmo de la división. Para cada polinomio   de grado mayor o igual a uno y para cada número  , existe un polinomio único   de un grado menor que el de   y un número único R, tal que:

.
Al polinomio   se le denomina cociente,   en el divisor y R es el residuo.

·                      

Teorema del residuo. Si   es el residuo de dividir el polinomio   entre  , entonces  .

Demostración.
Como   por el algoritmo de la división, se tiene que si  ,  .
O sea,  .

Ejemplo 1:
Hállese el residuo de dividir el polinomio   entre  .
 se puede escribir como  , por tanto  .
.
.
O sea que el residuo es 2.

·                      

 Teorema del factor. Si   es un cero del polinomio  , entonces   es un factor de  .

Demostración.
Si   es un cero de  ,  .
Pero por el algoritmo de la división  .
Como  ,  .
Por tanto,   y  .

Ejemplo 2:
Use el teorema del factor para probar que   es un factor de  .
, así  .
.
Luego –1 es un cero de  .
Así   es un factor de  .

Division sintetica 

La división sintética es un procedimiento "abreviado" para determinar el cociente y el residuo que se obtiene al dividir un polinomio   de grado , por un polinomio de la forma  , con  , a partir de los coeficiente de   y el cero de  . 

Ejemplo 1 :
Sean   y   polinomios tales que:  .

Teoremas del factor y del residuo

El Teorema Fundamental del Algebra (TFA) dice que todo polinomio a coeficientes complejos tiene un raíz compleja, es decir existe un número complejo donde el polinomio evalúa a cero. Hay muchas demostraciones de este importante resultado. Todas requieren bastantes conocimientos matemáticos para formalizarlas, por ejemplo la división sintética, el teorema del factor incluso el teorema del residuo. Sin embargo, si se deja de lado algo del rigor matemático, hay argumentos simples y creíbles, que le permiten a uno convencerse de la veracidad del TFA.

Este teorema resulta de suma importancia dentro del estudio de las ecuaciones. Encontrar la solución de una ecuación representa encontrar todos los valores de x para los cuales la ecuación es cierta, a las que comúnmente le llamamos raíces de la ecuación, generalmente las soluciones que de manera inmediata nos interesan son los valores que existan en los reales, sin que con ello las soluciones complejas no sean interesantes.

Teorema de factorización lineal

Si f(x) es un polinomio de grado n, con n > 0, entonces f(x) tiene precisamente n 
factores lineales, es decir: 
f(x) = a(x – c1)(x – c2)....(x – cn),

en donde c1, c2, .....cn son números complejos y a es el coeficiente principal de f(x).